BAB IV PARABOLA, ELIPS, HIPERBOLA

parabola

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.Bentuk kurva

disebut  parabola

P terletak pada kurva

Q terletak di sumbu-y

y₁ = -p garis sejajar sumbu-x

R terletak pada garis y₁

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y₁ disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

Contoh gambar

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

contoh

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

P dan Q dua titik tertentu, dan X sebuah titikdi bidang xy.

Contoh gambar

Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola

 Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

contoh gambar

Hiperbola horizontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x

BAB III KURVA BERDERAJAT DUA

Lingkaran

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Dapat juga dikatakan,lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.

Berdasarkan definisi itu, dapat ditentukan persamaan lingkaran.

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r maka kita gunakan rumus

jika Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r  berpusat di (a,b) maka rumus yang digunakan

contoh:

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dari persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r, yakni

Diperoleh

yang dapat ditulis

Ini adalah bentuk umum persamaan lingkaran. Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai berikut

Perhatikan bahwa ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat P

dan berjari-jari r

Dengan memperhatikan nilai r ini, maka akan tercdapat beberapa kemungkinan jenis lingkaran sebagai berikut

jika 

, maka lingkarannya nyata

jika

, maka lingkarannya imajiner

jika

, maka lingkarannya dalah lingkaran titik yang berjari-jari 0

Persamaan Parameter Suatu Lingkaran

Pada gambar di atas, koordinat titik T(x, y) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r akan memenuhi persamaan berikut ini.

Dalam hal ini,a adalah suatu parameter. Dikatakan, persamaan diatas adalah persamaan parameter suatu lingkaran.Secara lebih jelas, dengan mengeliminasi parameter a akan diperoleh persamaan

sebagai berikut.

Garis Singgung

1. garis singgung pada lingkaran dengan titik singgung tertentu

MisalT (x1 , y1 ) adalah titik singgung pada lingkaran. Garis singgung g yang melalui

T (x1 , y1 ) berbentuk y – y1 = m(x – x1). Karena garis singgung ini tegak lurus dengan jari-jari OT , maka nilai gradien garis singgung ini adalah m = - x1 /y₁ . Sehingga persamaan garis singgung yang dimaksud adalah :

Karena  titik T (x1 , y1 ) terletak  pada  lingkaran,  maka dipenuhi x1  + y1   = r Dengan demikian persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  + y 2  = r 2  dengan titik singgung T (x1 , y1 ) adalah:

2. Garis Singgung Pada lingkaran dengan Gradien yang telah ditentukan

Persamaan garis lurus dengan gradien m dinyatakan dengan g: y = mx + n. Jika garis

ini dipotongkan dengan lingkaran L: x 2  + y 2  = r 2 , didapat

x2 + (mx + n)2 = r2

atau

(m2 + 1)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0…………….. (*)

Ini  adalah  persamaan  kuadrat  dalam  x.  Garis  g  akan  menyinggung  lingkaran

L: x 2  + y 2  = r 2  bila diskriminan persamaan (*) adalah nol, yakni

 D =  4m 2 n 2  - 4(1 + m 2 )(n 2  - r 2 )

= - 4(n 2  - r 2  - m 2 r 2 ) = 0

Atau

 
   

Dengan mensubtitusikan nilai r ini ke persamaan garis g, akan diperoleh persamaan

garis singgung pada lingkaran L x 2  + y 2  = r 2 dengan gradien m, yakni:

Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada

lingkaran (x - a )2  + (y - b)2   = r 2 dengan gradien m adalah:

3. Garis Singgung dari Suatu Titik di luar lingkaran

Misal titik T(x1, y1) adalah titik di luar lingkaran dan S(x0 , y0 ) adalah titik singgung pada lingkaran. Persamaan garis singgung yang elalui S(x0 , y0 ) adalah:

xx0  + yy 0   = r²……………………. (i)

Garis singgung ini melalui T(x1, y1), sehingga berlaku

x1 x0  + y1 y 0   = r²………………….. (ii)

Karena S(x0 , y0 ) terletak pada lingkaran x 2  + y 2= r 2 maka dipenuhi

X_o 2  + y_o 2= r 2 ……………………. (iii)

Dengan menyelesaikan persamaan (ii) dan (iii) akan didapat nilai x0 dan y0 . Setelah

nilai x0 dan y0 ini disubtitusikan ke persamaan (i), akan diperoleh persamaan garis singgung

pada lingkaran x 2  + y 2= r 2 yang melalui titik T(x , y ).