BAB VI PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

1. persamaan parametrik

Fungsi parametrik adalah fungsi yang dipengaruhi oleh paramater tertentu. misalnya ” t”. Jadi bukan lagi y=f(x) akan tetapi x=f(t) dan y=g(t). Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok

Berikut ini contoh sebuah fungsi parametrik dan bagaimana membuat gambarnya

Untuk membuat gambarnya, lebih mudah untuk membuat tabel 3 kolom seperti dibawah ini kemudian baru digambar. Buatlah titik-titik koordinat (x,y) hasil dari memasukkan nilai “t” ke dalam persamaan f(t) dan g(t), kemudian dilanjutkan dengan membentuk kurva yang mulus

Terlihat dari gambar di atas, adalah sebuah kurva parabola. Dan kita bisa mengetahui persamaan parametrik di atas merupakan persamaan parabola atau bukan, dengan mengeliminasi paramater “t”. Caranya sebagai berikut

Seperti halnya persamaan dalam bentuk y=f(x), maka persamaan parametrik juga bisa diturunkan dan juga diintegralkan. Akan tetapi harus mengikuti beberapa cara berikut

Penurunan Funsi Parametrik

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh berikut

2. vektor pada bidang

Misalkan, dengan x dan y adalah bilangan real. Sehingga X adalah ruas garis berarah dengan pangkal O dan ujung P(x,y). Garis berarah dari O ke P dinyatakan dengan; O disebut pangkal dan P disebut ujung. 

Sebuah Vektor pada Bidang adalah matriks berukuran 2 × 1

Dengan 𝑥, 𝑦 ∈ R

Atau vector dapat kita definisikan vector adalah ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu. 

Suatu vektor terdiri dari panah – panah yang digambarkan, panah ini memiliki 2 ujung, yaitu titik awal (pangkal) dan titik akhir (ujung). Vektor adalah besaran yangmempunyai nilai dan arah. Dua vektor dikatakan ekuivalen jika kedua vektor tersebutmemiliki besaran dan arah yang sama.

Kita dapat menuliskan vektor tersebut dengan huruf tebal, seperti u dan v. Besaran dari vector u dilambangkan dengan |u|.

a. penjumlahan vektor

Cara segitiga 

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. Akibatnya, a + b = c.

 Cara jajargenjang

Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A= C.

misal

 adalah dua vector pada bidang. Hasil jumlah dari a dan b adalah vector 𝒂 + 𝒃 = 

contoh :

misalkan

Secara geometri, penjumlahan vector dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan

Penjumlahan vector menurut aturan segitiga adalah sebagai berikut

Sehingga v+u adalah vector yang diwakili oleh segmen garis berarah yang pangkalnya berimpit dengan pangkal v dan ujungnya berimpit dengan ujung u yang telah dipindahkan sedemikian sehingga pangkal u berimpit dengan ujung v. 

b. pengurangan vektor 

secara geometris, a dan b dapat dikurangkan sebagai berikut 

untuk vektor bidang berlaku

dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan

c. perkalian titik/skalar vektor

Sudut \theta antara dua vektor yang tak nol, a dan b didefinisikan sebagai berikutdengan O sebarang titik di bidang dan A, B dipilih sehingga OA = a dan OB = b. Hasil kali skalar a dan b adalah bilangan riil yang dinyatakan oleh

 Besarandapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a, ditulis kompa b =  

Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk  atauadapun sifat-sifat perkalian skalar sebagai berikut:

BAB V KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

1. koordinat kutub

Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Sistem koordinat ini adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini. Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.
Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P

koordinat kutub :

    P (r, θ)

r : jarak dari O ke P (arah dari O menuju ke P)

θ : sudut antara sumbu x dan garis OP

contoh:

pada gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3.Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar.Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut π/4 sehingga dapat dinyatakanA (2, π/4)Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut π/2 sehingga dapat dinyatakanB (3, π/2). begitu seterusnya untuk titik C, D, E dan F.

Dalam sistem koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar axis).
titik pada kordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut

Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas grafik kutub telah tergambar lingkaranl-ingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. seperti  pada gambar berikut telah terlukis beberapa titik yang dituliskan koordinat-koordinat kutubnya.

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar berikut

jadi titik dengan koordinat  Titik asal mempunyai koordinat  (-3, π/6) sama saja dengan titik  (-3, 13π/6),  (3, -11π/6),  (-3, 25π/6),  (3, 7π/6) dan seterusnya. titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

2. persamaan kutub
Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu dengan sebuah kurva yang mulus.
pada  sistem koordinat kartesius siku-siku, dapat disusun persamaan kartesius dengan peubah-peubah x dan y; maka dengan sistem koordinat kutub, dapat pula disusun persamaan kutub dengan peubah-peubah r dan  θ.

Contoh 1. : 

Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ

Penyelesaian :

Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali 

 contoh 2 :

Gambarlah grafik dari r = 2/1-cos θ

penyelesaian :

Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.

3. hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius 

Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan :

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar berikut 

contoh 1 :

Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6). Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah

Penyelesaian :

Jika (r, θ) = (4, π/6), maka 

gambar 8 

                                                               

Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini

contoh 2 :

Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin θ adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik persamaan r = 2 / (1- cos θ) adalah sebuah parabol dengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut. 

penyelesaian :

Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin θ dengan r, kita peroleh

 r2 = 8r sin θ 

dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi :

 x2 + y2 = 8y 

dan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut : 

 x2 + y2 - 8y = 0 

 x2 + y2 - 8y + 16 = 16 

 x2 + (y - 4)2 = 16 

Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) dan berjari-jari 4.  

PERHATIKAN 

Karena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan kedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi kedua bagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkan kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik. Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin θ dengan r tanpa menimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana titik dengan koordinat-θ 0.

Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut :

 r = 2/1-cos θ

 r – r cos θ = 2

 r - x = 2 

 r = x + 2 

 r2 = x2 + 4x + 4 

 x2 + y2 = x2 + 4x + 4 

 y2 = 4(x + 1) 

Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di (-1, 0) dan dengan fokus di (0, 0)

BAB IV PARABOLA, ELIPS, HIPERBOLA

parabola

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.Bentuk kurva

disebut  parabola

P terletak pada kurva

Q terletak di sumbu-y

y₁ = -p garis sejajar sumbu-x

R terletak pada garis y₁

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y₁ disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

Contoh gambar

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

contoh

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

P dan Q dua titik tertentu, dan X sebuah titikdi bidang xy.

Contoh gambar

Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola

 Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

contoh gambar

Hiperbola horizontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x